Newton y las mareas

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Que las mareas son cuestión de la gravedad que ejerce la Luna sobre la Tierra es algo que la mayoría del mundo sabe: la fuerza de atracción de nuestro satélite curva hacia sí mismo la superficie de las aguas, lo que provoca que baje el nivel del mar en las zonas costeras. Sin embargo, pasó mucho tiempo hasta que se pudo contestar a la pregunta de por qué los pescadores veían a diario dos mareas altas en el océano Atlántico. «Según el razonamiento de Newton, la Luna provoca no uno, sino dos abultamientos en el océano: uno en el punto más cercano a la Luna y el otro en el punto oceánico más alejado de ella». En el punto opuesto a la Luna se produce otro abultamiento porque la Luna ejerce su poder sobre el fondo marino, equilibrando en una elipse la superficie del mar alrededor de la Tierra. Es decir, no es la gravedad únicamente la que provoca las mareas, sino la diferencia de ésta entre el fondo marino y la superficie.

Fuente: ABC

El origen de los signos matemáticos: más + y menos

 

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Por Raúl Ibáñez,  matemático y profesor de Geometría y Topología de la Universidad del País Vasco (UPV)

La primera vez que aparecen los signos + (más) y – (menos) en un libro impreso es en la obra Mercantile Arithmetic (1489) del matemático alemán Johannes Widman (1462 – 1498). Sin embargo, no utiliza los signos + y – como símbolos de las operaciones aritméticas, sino para expresar exceso y defecto de las mercancías. Por ejemplo, la expresión 3 + 30 quiere decir 3 centner y 30 pfund, que son unidades de peso alemanas. Mientras que como operaciones aritméticas aparecen en el libro de álgebra y aritmética Ayn new Kunstlich Beuch (1518), del matemático alemán Henricus Grammateus (aprox. 1492-1525), como menciona Florian Cajori en su texto A history of mathematical notations (1928).

Signos + y –, que aparecen en dos expresiones algebraicas, en los manuscritos latinos MS C80, de la Biblioteca de Dresde, del año 1486.

Sin embargo, esta no es la primera aparición de los signos + y –, ya que se pueden encontrar en algunos manuscritos alemanes (MS C80 de la Biblioteca de Dresde), en latín y alemán, de los últimos veinte años del siglo XV.

La forma del signo más como una cruz + se debe a que originalmente en los manuscritos latinos se utilizaba la conjunción latina “et”, es decir, la conjunción “y”, para expresar la adición, de la misma forma que hoy se dice “2 y 2 son 4”. El signo + es una de las muchas abreviaturas que existieron de “et”. La primera vez que aparece esta abreviatura + en un manuscrito podría ser la obra Algorismus proportionum(aprox. 1356-1361) del matemático Nicolás de Oresme (1323-1382). Aunque este signo podría no estar en la obra original y haber sido escrito por un copista posterior.

Página de la obra Summa de arithmetica (1494), de Luca Pacioli, en la que aparecen por primera vez los signos , , para representar suma y resta. En esta página vemos también la regla del signo en la multiplicación “más por más siempre es más, menos por menos siempre es más,…” (“più” es más y “meno” es menos en italiano).

Antes del siglo XV se utilizaron en Italia, como en otros lugares, las palabras más y menos en el idioma de escritura (en latín, “plus” y “minus”), de ahí derivaron por abreviatura, las letras “p” y “m” (o con una tilde, o un segmento, encima). Estas abreviaturas, y , aparecen por primera vez en la obra Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (1494), del matemático italiano Luca Pacioli (1447-1517), y se siguieron utilizando en los siglo XV y XVI. En Italia los signos alemanes + y – empezaron a utilizarse en el siglo XVII. El primer uso de los signos + y – en Gran Bretaña fue en 1557 en el libro The Whetstone of Witte, de Robert Recorde, en el que apareció por primera vez el símbolo = para la igualdad. En España y Francia se utilizaban tanto los símbolos alemanes + y –, como los símbolos italianos “p” y “m”.

Además de la cruz griega + que seguimos utilizando hoy en día, se utilizaron otras cruces para el símbolo de la suma: la cruz latina, en horizontal y vertical, la de San Jorge o la de Malta. A pesar de la sencillez del signo – para la resta, cierto grupo de matemáticos lo sustituyó por el signo más complejo ÷, que fue utilizado durante unos cuatrocientos años, incluso con algunas variaciones, como tener solo el punto de arriba. También se utilizó como signo menos, dos barras seguidas “– –” o tres barras “– – –”. Por supuesto, antes de estos signos se utilizaron otros para expresar la suma y la resta.

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la Sucesión de Fibonacci

Puede que hayas oído hablar ya de la sucesión de Fibonacci, que te suene eso de la proporción áurea de algún cuadro o alguna cara bonita, pero ¿sabías que aparece de forma recurrente en la naturaleza o que guarda una estrecha relación con el número φ?

¿De dónde surge sucesión de Fibonacci?

Primero de todo conozcamos a la persona que lo difundió en occidente: Leonardo de Pisa (ya te pensabas que se llamaba Fibonacci ¿eh?. He aquí uno de los pocos matemáticos originales).  El nombre surgió a raíz del apodo que heredó de su padre. Lo llamaban Bonacci (el bien intencionado) y tras su muerte su hijo fue conocido como Fibonacci (filius hijo de Bonacci).

¿Y en qué consiste esta sucesión? Pues es más sencilla de lo que podrías pensar. La serie se obtiene de la suma de los dos números anteriores iniciando la secuencia con el 1. Es decir quedaría determinado de la siguiente forma:

f_{n}= f_{n-1} +f_{n-2}

Considerando como valores predeterminados ƒ0 = 0 y ƒ1 = 1, quedaría la sucesión tal que así:

1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 -144…

Fibonacci y los conejos

El origen de la sucesión es cuanto menos curiosa ya que se trata de la solución a un problema en la cría de conejos:

Consideremos una familia de conejos con la característica de que tardan un mes en ser fértiles. Cuando han alcanzado la fertilidad, cada pareja se aparea teniendo al mes siguiente (cada hembra) una pareja de crías (un macho y una hembra) que de nuevo tardarán en ser fértiles un mes y entonces se aparearán. ¿Cuántas parejas de conejos habrá al cabo de un tiempo dado, por ejemplo, un año?

Conejos mostrando la Sucesión de Fibonacci

Como vemos, la primera línea paternal tendrá dos hijos (azules). En la siguiente generación, se reproducirá la línea filial (azul) para original la segunda línea filial (rojo). Y así sucesivamente aumentando según lo descrito por Leonardo de Pisa.

Pero no solo se utiliza para saber cuántos conejos tendremos después de un tiempo determinado, si no que también lo encontramos, como adelantábamos antes, en la naturaleza. Cuando creamos cuadrados con esas dimensiones conseguimos algo similar a esto:

Matemáticas, naturaleza y mucho más…

Seguro que la figura os sonará de haberla visto en infinidad de objetos y elementos. De hecho, no solo es importante en las matemáticas, como veremos más adelante, si no que juega un papel fundamental en otras ramas del conocimiento como en  la botánica, concretamente en la filotaxis que estudia la morfología de las plantas. Si no, también puedes mirarte a ti mismo y encontrar la relación: tienes… dos manos, con 5 dedos cada una y cada dedo está dividido en 3 secciones, ¿casualidad?

Y justo aquí es donde la naturaleza, el arte y las matemáticas se fusionan.

El número áureo, φ (phi), surge de la siguiente relación en una recta:

Por lo que:

Hacemos factor común:

Lo dejamos en función de φ:

Que despejando nos quedaría una ecuación de 2º grado tal que así:

Que resolviéndola con la maravillosa formulita “menos b mas, menos, raíz cuadrada de b cuadrado menos 4 por a por c bla bla bla” nos daría como solución positiva:

La relación que existe entre el número de oro y la sucesión de Fibonacci, es que se acercan de manera asintótica al número áureo si dividimos dos números consecutivos de la sucesión, tal que:

Conforme vamos avanzando en la sucesión, podemos ver que la aproximación es mayor:

Para cerrar el post, os dejamos con la gran charla de Arthur Benjamin en TED. En ella desvela otros muchos secretos de la sucesión de Fibonacci con ejemplos muy ilustrativos.

http://harguel.com

Han sido necesarias 50.000 fotos para capturar esta alucinante imagen de 81 Mpíxeles de la Luna

Las fotos del espacio son en muchos casos impactantes, pero no es necesario recurrir a la NASA y a misiones como el Hubble. Hay usuarios que con muchos menos medios logran capturar tomas increíbles, y loha demostrado el astrofotógrafo y usuario de Reddit Andrew Mccarthy.
Este experto ha tomado 50.000 imágenes de la Luna y las ha combinado y montado para acabar con una única imagen inmensa y con un nivel de detalle asombroso gracias a sus 81 Mpíxeles. El proceso de captura es casi tan asombroso como el resultado.
Esa imagen de 81 megapíxeles (aquí a mejor tamaño, aquí para descargar la versión completa en un ZIP de 290 MB) es un prodigio que permite mostrar un nivel de detalle muy alto incluso haciendo bastante zoom en la imagen.

Mccarthy explicaba el proceso e indicaba que la imagen se había creado a partir de una combinación de capturas desde dos cámaras distintas: una para capturar el brillo exterior y las estrellas, y otra para capturar el detalle en la cara iluminada de la Luna. Esas cámaras eran una Sony a7ii y una Zwo ASI 224MC, siendo precisamente esta última una cámara especializada para tomas del espacio.

VALLADOLID 1560:VOCABULARIO DE LA LENGUA GENERAL DE LOS INDIOS DEL PERÚ, LLAMADA QUICHUA

En 1560 y en Valladolid se publica este Diccionario y Gramatíca General del Quechua, apenas 15 años despues de la llegada del primer virrey del Perú a Lima. Y si hoy el quechua es lengua oficial en al menos dos paises, Perú Y Bolivia, se debe a la labor cientifica de los misioneros españoles en recopilar, estudiar y dar estructura gramatical moderna a esa lengua. Y al rey Felipe II que costeó su edición a cargo de la imprenta real.

VOCABULARIO DE LA LENGUA GENERAL DE LOS INDIOS DEL PERÚ, LLAMADA QUICHUA. Imprimiase en la muy insigne villa de Valladolid (Pincia otro tie[m]po llamada) en la officina de Fra[n]cisco Ferna[n]dez de Cordoua, impressor de la Magestad Real. Acabose a diez dias del mes de Henero, Año de mil y quinie[n]tos y sesenta.

La paciencia de Edison

A19 Edison Bulb

 

Cuando Thomas Alva Edison (1847-1931) inventó la bombilla, no le salió a la primera, sino que realizó más de mil intentos, hasta el punto de que uno de los discípulos que colaboraba con él en el taller le preguntó si no se desanimaba ante tantos fracasos. Y aquí entra la cuestión de la percepción del error, porque Edison respondió: “¿Fracasos? No sé de qué me hablas. En cada descubrimiento me enteré de un motivo por el cual una bombilla no funcionaba. Ahora ya sé mil maneras de no hacer una bombilla”.

Pero va mas allá la paciencia del inventor mas prolífico de la historia – se le atribuyen mas de 1300 patentes- ,  porque cuando tenía 32 años, durante ochocientos días y ochocientas noches y apoyado por sus colaboradores, tuvo la paciencia de ensayar con seis mil fibras diferentes: vegetales, minerales, animales y incluso humanas, puesto que probó hasta con un pelo de la barba rojiza de uno de sus colaboradores.

Al fin, el 21 de octubre de 1879 Edison realizó la primera demostración pública de la bombilla incandescente antes tres mil personas reunidas en Menlo Park (California). Esa primera bombilla lució durante 48 horas ininterrumpídamente.

 

http://www.sabiask.com

¿Qué es el vórtice polar?

El vórtice polar es un área de baja presión que está rodeada por un cinturón de vientos que rodea los polos norte y sur de la Tierra. El flujo de aire circula en sentido oeste, contrario a las agujas del reloj, de forma que ayuda a confinar y mantener cerca de los polos el aire más frío. El problema surge cuando este flujo se debilita a causa de un calentamiento repentino de la estratosfera, lo que propicia que masas de ese aire frío se expandan desde los Polos hacia latitudes más bajas.
Así, el calentamiento repentino de la estratosfera hace que el vórtice polar se vuelva menos estable y se expanda, enviando aire polar hacia el sur, afectando a amplias zonas de Estados Unidos con la corriente en chorro aunque también puede afectar a algunas partes de Europa y Asia. En realidad, el vórtice polar no es nada nuevo; de hecho, se piensa que el término apareció por primera vez en una publicación de 1853, según informa la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica (NOAA). Está asociado a la ola de frío extremo norteamericano de enero del año 2014, o las de 1977, 1982, 1985 y 1989.

Fuente:ABC

La historia del número Pi

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Las primeras civilizaciones idearon una estrategia para dividir las tierras para la agricultura y también la cosecha; la idea era calcular un perímetro. Sin tener la intención en ese momento se estaba desarrollando una relación matemática, la cual nos expresa la proporción entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. En Grecia surgió la motivación de comprender la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia, consolidándose como un enigma a resolver. En este sentido, Antiphon, luego de varios intentos logró obtener un polígono que coincidió con un círculo. Simultáneamente, Brisón intervino los polígonos circunscriptos con el fin de hallar dicha relación. Los griegos bautizaron este número como Pi, por ser la primera letra de la palabra perímetro en griego.

Más adelante, Euclides desarrolla el método de exhaución para encontrar el área de la circunferencia. El método consistió en doblar, así como lo hizo Antiphon previamente, el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y expresar la convergencia del procedimiento. Estos hallazgos fueron complementados con la labor de Arquímedes que reunió y trabajó con base en estos resultados. Como resultado, evidenció que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro se expresa entre 223/71 = 3,14084 y 22/7 = 3,14285. Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, relaciones de recurrencia de forma notable, logrando calcular pi con una aproximación dada; dicho método de cálculo es conocido como algoritmo de Arquímedes.

En el periodo del Renacimiento, Purbach utilizó en su tabla de senos de 10′ en 10′ el número Pi, pero le concede un valor: 377/120 = 3,14666…. es necesario mencionar, que los siglos XV y XVI la trigonometría tiene un gran desarrollo impulsado por Copérnico y Kepler. Sumado a la innovación de Purbach, Rhaeticus construye una nueva tabla de senos en la que incluyó a Pi con 8 decimales exactos. A partir de esta labor, Adrien Romain obtuvo para Pi el valor de 15 decimales y Ludolph van Ceulen llegó hasta 32, utilizando el método de los perímetros mediante un polígono regular. Por su gran labor, en Alemania se le conoció al número pi como número ludolphino.

Pronto la hazaña de Ludolph se vió ensombrecida por los perfeccionamientos de Snell y Huyghens. El primero halló la fórmula del arco; mientras que el segundo, generó una expresión importante para comprender el método. Ciertamente Snell fue el más destacado, obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de los lados. Huyghens, por el contrario, calculó Pi con 9 decimales exactos tomando simplemente el polígono de seis lados.

Desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número. El primero en utilizar pi como cifra fue William Oughtred, un ministro anglicano natural de Inglaterra que alternó el ministerio con el estudio de la Matemática, la Astronomía y la Gnomónica. Posteriormente, William Jones, matemático galés, siguiendo sus postulados de manera inconsciente, empleó la letra griega π como símbolo matemático del número pi. Aunque, el encargado de popularizar dicha práctica fue Leonhard Euler, principal matemático suizo del siglo XVIII. A quien le debemos el legado de designar por Pi a la relación circunferencia – diámetro y quien calculó su valor, con 20 decimales.

Gracias a los cálculos infinitesimales surgieron fórmulas notables que, lograron métodos de cálculos nuevos y mucho más eficientes. A partir de este momento el papel de Pi se separó un poco de la geometría y jugó un papel fundamental en el análisis matemático. El matemático francés Viete obtuvo, a comienzos del siglo XVII, la primera fórmula de Pi por medio de un producto infinito convergente.

El descubrimiento más representativo del francés fue asociar el número Pi con otros números de gran relevancia en la matemática, tales como el número ei, además los lazos que existen entre las funciones circulares seno y coseno, y la función exponencial ex: ésta es periódica y su período imaginario es 2 i Pi. Por otro lado, William Shanks, matemático inglés que trabajó arduamente en el número Pi por más de veinte años, en 1853, finalmente, obtuvo 707 decimales. Desafortunadamente, Shanks cometió un error en el 528 decimal, y su operación terminó siendo un fracaso.

En 1949 John Von Neumann, fue un informático que se interesó en el campo de las matemáticas, especialmente en la apertura de nuevas vías al desarrollo de la matemática estadística. Además, participó en la axiomatización de las matemáticas. Contribuyó al estudio de algoritmos. Neumann es denominado el inventor del “algoritmo de merge sort” en 1945. En lo concerniente al número Pi, se valió de la computadora electrónica ENIAC, siendo participe del proyecto que la creó, para luego de setenta horas de trabajo obtener 2037 cifras decimales.

Hacia 1959, una computadora británica logró calcular las primeras 10.000 cifras. En 1986 David H. Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la Nasa utilizando el algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica. Por otro lado, Kanada consiguió más de 100 millones de cifras usando un superordenador durante una semana. En resumen, los avances tecnológicos fueron un gran avance para los matemáticos, aparentemente la única desventaja es el tiempo requerido que un ordenador tarde en conseguirlos, diferente al periodo antes de esta invención donde los matemáticos duraban años en hallar una cifra.

El 14 de marzo se celebra el día internacional del número Pi. Un día que no pasa desapercibido en el mundo y mucho menos dentro de la comunidad académica y científica. Esta afamada cifra es una de las constantes más importantes dentro de las diferentes ciencias matemáticas y físicas. Actualmente sabemos que como número irracional posee infinitos decimales, y su valor aproximado es el de 3,14. La cifra es conocido por el símbolo π. Dicha cifra ha ido evolucionando en sus diversas aproximaciones decimales para acercarse al número exacto.

El responsable de la conmemoración de esta fecha es el físico estadounidense Larry Shawn que en 1988 conmemoró este día. El uso de este número irracional es muy importante porque es aplicado a la fabricación de neumáticos, galletas, relojes, vasos, botellas e infinidad de objetos circulares que contienen diámetro y perímetro. También es usado dentro de la trigonometría y la topografía, la estadística. También es habitual su utilización en la Nasa para cálculos astronómicos.

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